数学最显著的特点之一就是应用的极其广泛性。在我们日常生活的每一个角落里都可以找到数学的影子。在社会生活的各个领域里，都在运用着数学的概念，法则和结论。很多看似和数学无关的问题都可以运用数学工具加以解决。但在过去相当长的一段时间里，很多学生学习数学多年，并不知道数学有什么用途，他们认为数学是枯燥无味的，学习数学就是为了应付中考与高考。学生的想像力、创造力不仅得不到发挥。现在提倡素质教育，数学素养已成为公民文化素养的重要内容。素质教育在数学学科中的一个很突出的方面就是应用意识的培养。
数学模型是沟通实际问题与数学工具之间的桥梁。本文拟通过几个趣味数学应用的案例分析与数学建模，体现数学应用的广泛性，在一定程度上帮助数学爱好者看到数学生动、有趣、甚至于好玩的一面，以丰富数学学习的内容，提高中学生学习数学的积极性、主动性、探索性。
例1 证明任意的6个人中，必有3个人互相认识或者3个人互相不认识。
分析：用平面上的任意6个点（无三点共线）来代表6个人，两个人互相认识则在两点之间用实线连接，两个人互相不认识则在两点之间用虚线连接。则此看似和数学无关的问题相当于：平面上有6个点（无三点共线），任意两点之间用实线或虚线连接，求证连接后的图形中存在实线或虚线三角形（如下左图示）。
证明：考察线段AB、AC、AD、AE、AF，其中至少有三条或同为实线或同为虚线，不妨设线段AB、AC、AD为实线。考察△BCD，若△BCD为虚线三角形，则此问题即得证，若△BCD不是虚线三角形，不妨设线段BC为实线，则△ABC即为实线三角形，此问题也得证（如下右图）。
例2 7只茶杯，杯口朝上，将其中的4只翻转过来（杯口朝上的变为杯口朝下，杯口朝下的变为杯口朝上），称为一次“运动”。试问：是否能经过有限多次的运动，使得茶杯的杯口全部朝下？
分析：将7只茶杯用字母分别表示为A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7 ，茶杯的杯口朝上记为Ai=+1，杯口朝下记为Ai=－1（i=1，2，3，4，5，6，7），每次翻转其中的4只杯子的杯口方向，相当于7个字母中的4个字母取值改变符号，即相当于将其中的4个字母各乘以-1。问题归结为：已知7个字母A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7，在开始时全部取值为+1，每次改变其中4个字母的符号，能否经过有限次，将7个＋1变为7个－1？
解：考察经过第i（i＝0，1，2，…n）次翻转的7个字母的乘积
Mi ＝A1A2A3A4A5A6A7，
开始的时候相当于7个字母取值全为＋1，它们的积
M0 ＝A1A2A3A4A5A6A7＝（＋1）7＝＋1；
经过一次翻转后，
M1 ＝A1A2A3A4A5A6A7＝M0（＋1）4＝＋1；
经过两次翻转后，
M2 ＝A1A2A3A4A5A6A7＝M1（＋1）4＝＋1；
……
所以不论经过多少次翻转，7个字母的乘积保持不变，仍为+1。
另一方面，杯口全部朝下，相当于7个字母的取值勤全为－1，它们的乘积是－1。这就表明，经过有限次的翻转，7个＋1不会变为7个－1。
因此，经过有限次的翻转，不能使7只茶杯的杯口全部朝下。
例3 某人于上午8点由山下出发，下午15点抵达山顶，第二天上午8点由山顶出发按原路返回，并于下午15点回到山下原出发点，问在两天的路线中是否存在这样一个点，该人经过此点时，两天中的手表指向同一时刻？
分析：这个问题初看起来不容易得到答案，换一个角度思考：把该人在两天中做的事移到一天中来做，设想将这个人再克隆出一个人来，上午八点时，该人由山下出发，而克隆人同时由山上出发，由于走的是同一条路线，因此该人与其克隆人必定在中途相遇，在相遇点处，则手表指向同一时刻。下面用数学工具证明之。
该问题与路线的形状无关，不失一般性，不妨行走的路线为线段AB，行走的时间t为位置x的连续函数 第一天，A→B设t＝f（x）（A≤x≤B），且f（A）＝8，f（B）＝15；第二天，B→A设t＝ g（x）（A≤x≤B），g（A）＝15，g（B）＝8；问题归结为，已知连续函数f（x）、g（x）（A≤x≤B），且f（A）＝8，f（B）＝15； g（A）＝15，g（B）＝8。求证：存在一点x 0（A≤x 0≤B），使得f（x 0）=g（x 0）。
证明：设h（x）＝f（x ）－g（x ） （A≤x≤B），则h（x）也是连续函数，且h（A）＝f（A ）－g（A ）= 8－15＝－7＜0，h（B）＝f（B ）－g（B ）= 15－8＞0，因此在区间 [A，B] 内至少存在一点x 0，使得h（x 0）=f（x 0）－g（x 0）＝0，即f（x 0）=g（x 0）。
例4 三名商人各带一个仆人乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，仆人们事先秘密约定，在河的任一岸，一旦仆人的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们应该怎么设计安全过河的方案呢？
分析：用k（k＝1，2，……，n）表示渡河的次数，记第k 次渡河前此岸的商人数为xk，仆人数为yk，（xk，yk）表示的是第k 次渡河前此岸的状态， （ xk，yk＝0，1，2，3）；开始渡河前的状态为（3，3），最终目标状态为（0，0）。
将（xk，yk）视为平面上的点的坐标，在xoy平面坐标系上画出下左图，（xk，yk）就是图中的方格线交叉点，共有16个点，其中某些点是安全状态，某些点不是安全状态，例如：（2，1）表示的是此岸上有2个商人、1个仆人，但对岸上则是1个商人、2个仆人，则点（2，1）不是安全状态。安全状态点共有10个（下左图中标出的黑点），为：
{（xk，yk）| （xk＝0，yk＝0，1，2，3；xk＝3，yk＝0，1，2，3；xk＝yk＝1或2；）
k为奇数时，船从此岸驶向彼岸，此岸人数减少，减少的人数为小船上运走的人数，由题设，小船每次最多装2个人，此时状态由（xk，yk）→（xk＋1，yk＋1）， 这相当于将点（xk，yk）沿方格线向下或向左移动1~2格 ，移到（xk＋1，yk＋1）。
k为偶数时，船由彼岸驶回此岸，此岸人数增加，增加的人数为小船上运来的人数，此时状态由（xk，yk）→（xk＋1，yk＋1），这相当于将点（xk，yk）沿方格线向上或向右移动1~2格，移到（xk＋1，yk＋1）。
由上面的分析可知：制订安全渡河方案归结为如下的问题：将点（3，3）经过图中那些安全状态点进行有限次移动， 移动的次数k为奇数时，沿方格线向左或向下方移动1或2格；移动次数 k为偶数时，沿方格线向右或向上方移动1或2格。经过有限次移动，最终移至原点（0，0）。
编一段程序用计算机求解上述问题是可行的。不过对于商人和仆人人数不大的简单状况，用图解法解这个模型更为方便。
上图给出了一种移动方案，这个结果很容易翻译成渡河的方案：
（3，3）（2个仆人过河）→（3，1）（1个仆人返回）→（3，2）（2个仆人过河）→（3，0）（1个仆人返回）→（3，1）（2个商人过河）→（1，1）（1个商人1个仆人返回）→（2，2）（2个商人过河）→（0，2）（1个仆人返回）→（0，3）（2个仆人过河）→（0，1）（1个仆人返回）→（0，2）（2个仆人过河）→（0，0）。
大连教育学院 蒋永晶